Malthus, la función logística y un augurio de perdición I: Modelos poblacionales

 Hoy en día existe un problema que nos atañe a todos por igual. Debido a su relevancia y sus implicaciones a nivel mundial, el calentamiento global mantiene expectantes a las mayores economías del planeta. Situándose entre los temas más populares de la actualidad, ha trascendido los círculos científicos y ha llegado a debatirse acaloradamente en las más recientes cumbres del G20.

No obstante, a pesar de todas las evidencias presentadas por diversos grupos de científicos en las últimas décadas, hay quienes se muestran renuentes a este hecho, evidente incluso al ojo común. Pero, hagamos un ejercicio de pensamiento y tratemos de adoptar por un momento la mentalidad de los opositores al incremento de la temperatura del globo.

En nuestro ejercicio la temperatura de la Tierra es igual a la de hace 70 años, así que no hay riesgo de que la civilización desaparezca debido al  calentamiento excesivo. ¿Por qué otra razón vería la humanidad amenazado su dominio en la Tierra? Las guerras y desastres naturales serían una respuesta casi obvia. Sin embargo, existe evidencia proveniente de regiones donde ha ocurrido algún conflicto armado o un terremoto, por ejemplo, que no apoya la teoría, pues al nueve meses después de estos sucesos, ocurre una explosión demográfica en la región.

Crecimiento-demográfico
Tasa de natalidad en México, Indonesia, Chile y Japón. En la imagen se observa el decrecimiento paulatino de la tasa de natalidad en los países mencionados. Sin embargo, nueve meses después de ocurrido un terremoto se encuentran los incrementos explosivos (picos) en el gráfico.   Imagen de Google

La escalada de cualquiera de estos eventos debe ser suficientemente grande, de proporciones bíblicas, para erradicar a toda la población, pues ni la erupción del volcán Toba hace 75 mil años pudo borrar de la faz de la Tierra al homo-sapiens, aunque comprometió severamente su población. La evolución ha dotado al hombre con la naturaleza inquisitiva y errante que le permitió borrar de sus temores desaparecer debido a un evento localizado.

Dentro de nuestro experimento descartemos cualquiera de estas dos posibilidades. Si hasta ahora no se ha comprendido a qué me refiero con (humanidad) en riesgo, debo aclarar, pues, que me refiero al escenario en que la población global esté supeditada a su extinción.

Crecimiento exponencial de Malthus

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Thomas Malthus. Fuente: Internet

Una población de cualquier tipo de objetos (en este caso hablaremos de la población humanas (demografía)) es cuantificable y, por tanto, puede modelarse matemáticamente su comportamiento. Un primer intento de modelar este fenómeno fue hecho por Thomas Malthus, un economista británico nacido en el año 1776, al cual se le atribuye la ecuación, nombrada en su honor, siguiente:

Malths

Resaltamos que t es el tiempo, P(t) es la población (número de individuos que la conforman y cambiante en el tiempo) y N una tasa de crecimiento de la población, que puede ser constante o variable. Por simpleza consideremos a N constante. El término del lado izquierdo de la ecuación diferencial es la derivada de la población, dicho de otro modo, el cambio que sufre la población P(t) a través del tiempo.

Intuitivamente, esta ecuación nos dice que el crecimiento (decrecimiento) de la población después de una unidad de tiempo (días, meses, años, etcétera) será N-veces la población durante ese ciclo si N es positivo (negativo), es decir, si N = 2 y t se mide en años, al término de un año el crecimiento de la población habrá sido el doble de la población durante ese año (esto no quiere decir que la población será el doble doble respecto al año anterior).

Nuestra meta es encontrar la función P(t). Si no se está familiarizado con las ecuaciones diferenciales y se sabe algo de cálculo, el objetivo, en este caso, se torna en encontrar la función cuya derivada sea la misma función, P(t), multiplicada por una constante (N).

Trivialmente, si Pes la población al inicio de la predicción, la solución a la ecuación es:

Pobsol
Solución a la ecuación diferencial

Gráficamente, la población se comporta como sigue:

P(t) con N positivo
P(t) con N negativo

Como aproximación, la función solución a la ecuación de Malthus no es muy buena, dado que no describe de manera satisfactoria las poblaciones, al menos la humana. Sin embargo, si nuestro objetivo es obtener EL modelo matemático que describe el incremento de la población mundial, Malthus es aceptable como primera aproximación.

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Predicción de la población mundial para el año 2050. Fuente: Apuntes de Demografía.

Modelo logístico de Verhulst

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Pierre-François Verhulst. Fuente: Internet

A pesar de ser relativamente acertado el modelo de Malthus, sus consideraciones están lejos de ser realistas. Con esto en mente se desarrollaron  modelos más elaborados para este fin. Pierre Verhulst desarrolló, para ser publicado en 1847, el ahora llamado modelo logístico de crecimiento. En este nuevo planteamiento del problema se considera la sustentabilidad del medio, es decir, cuántos individuos es capaz de mantener, cosa que en nuestro experimento no habíamos mencionado tampoco.

Curva  logística es cómo se denomina a la gráfica de la función de crecimiento logístico (o modelo logístico), cuya expresión incluye, como el modelo de Malthus, el cambio de la población en el tiempo (derivada de P respecto a t) y la población P(t).

logis
Modelo logístico. N: tasa de crecimiento; P(t): población al tiempo t; M: número máximo de individuos que un medio puede mantener.

Matemáticamente, el modelos nos dice que si M es menor que P(t), en algún t, el siguiente valor del cambio en  la población (derivada de P(t)) será negativo. Es decir, si en algún momento se sobrepasa el límite de población permitida, ésta inexorablemente decrecerá. Asimismo, mientras P(t) sea menor que M, P(t) seguirá creciendo.

Solucionar esta ecuación diferencial es un ejercicio clásico del área; si se desea, pues, conocer los métodos requeridos para este fin, así como el planteamiento de la ecuación, cualquier libro introductorio a las ecuaciones diferenciales lo proveerá. Nosotros nos remitiremos a mostrar la solución.

sollog

P(t), como se muestra arriba, nos dice que la población de estudio está imposibilitada a crecer más allá del límite M cuando la población inicial es menor que M, es decir, cuando t es muy grande, P(t) ≈ M pero siempre permaneciendo menor a M. Si, por el contrario, el valor poblacional es mayor que M, la población caerá hasta ser casi M. Mientras que si la población inicial es M, jamás cambiará. Todos estos casos se categorizan en sistemas dinámicos.

Crecimiento
Sustentabilidad mayor que la población inicial, donde t es la unidad de tiempo.
Decrece
Sustentabilidad menor que la población inicial, donde t es la unidad de tiempo.

Verhuslt sentó las bases del estudio de la dinámica de poblaciones, de la propagación de enfermedades, del intercambio de información, etcétera, al publicar el modelo logístico. Esto quiere decir que es simplemente una parte esencial, más no completa, en muchos estudios de esta índole. Según sea el caso habrá que considerar más términos en la ecuación diferencial logísitica. Por ejemplo, si se estudia una población de conejos, habrá que considerar también a sus depredadores, enfermedades, etcétera. Sin embargo, en el caso de la población humana, el término depredador no existe y, siguiendo nuestro experimento, supongamos que las enfermedades han sido erradicadas.  Además se debe mencionar que, en términos prácticos, M es variable en nuestra consideración, pues la humanidad hace uso de recursos que no son renovables y cuestiones como la liberación de gases de efecto invernadero, deforestación y entre otros abusos, hacen decrecer más rápido la ahora función M(t,P(t)) (esto es: M depende del tiempo y de la población); en otras palabras: reducimos gradualmente el número permitido de habitantes humanos sobre la Tierra.

Sigamos con el experimento. Además de lo ya mencionado, hagamos esta última suposición: todas las necesidades de los individuos están satisfechas, salvo que la población está confinada un espacio limitado. En perspectiva, esto es similar a vivir en un plante Tierra hipotético donde todos su recursos son renovables y conserva siempre su tamaño. Un posible modelo general, o inicial, para nuestro experimento, donde, recordemos, M ahora es una función dependiente del tiempo t y de la población P(t), de modo que incremente para satisfacer nuestro supuesto,  podría ser el siguiente:

modgral
Modelo general (hipotético) para el experimento.

Notemos que si M es infinito el modelo es una variación del modelo de Malthus, pues el término negativo se vuelve cero .

Debe mencionarse que, a partir de este punto, los métodos requeridos para encontrar una solución ya nos son analíticos, sino numéricos, y para emplearlos se requiere de condiciones numéricas iniciales. Es decir, no podemos realizar cálculos directos para obtener una solución como la solución del modelo logístico. De hecho, al emplear métodos numéricos lo que se obtiene son aproximaciones a una función o directamente a un valor numérico. Por tal motivo nos limitaremos a interpretar cualitativamente este modelo hipotético.

El último término de la ecuación diferencial propuesta, D(t,P(t)), tomará mayor significado posteriormente.

Referencias

Más sobre Malthus: https://apuntesdedemografia.com/malthus/

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