¿Cuántos puntos hay del 0 al 1?

Desde luego: hay una infinidad. Pero, si se dispone de infinito tiempo, ¿se podrán contar todos?, ¿habrá el doble de puntos entre el 0 y el 2? Parece ser que las respuestas son afirmativas, no obstante, para contestar estas preguntas, primero se necesita dejar en claro algunos conceptos fundamentales. Comencemos.

¿Qué significa contar?

Cuando decimos que vamos a contar un conjunto de cosas, hacemos referencia a que haremos una correspondencia ordenada entre cada cosa del conjunto y un número natural para saber hasta cuál llegamos. Enunciado así, no parece muy familiar, mas tiene la formalidad necesaria para que podamos extender el concepto a conjuntos infinitos. Ahora bien, contar puede ser descrito como la primera forma de medición, ha tenido presencia desde la aparición de los primeros asentamientos humanos.

Por ejemplo, nuestros ancestros utilizaban piedras para contar el ganado. Imagínese a uno con 6 piedras en un cazo de barro, que representan a las 6 vacas que posee; es decir, puede asignar a cada vaca una piedra. Las vacas salen a pastar y luego vuelven al establo, si nuestro ancestro trata de asignar cada una de las seis piedras a cada una de las vacas en el establo y resulta que sobró una piedra… ¡perdió una vaca! Por esta razón, la palabra cálculo viene del latín calculus, que significa ‘piedras’.

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Crédito: creación propia a partir de imágenes de uso libre disponibles en línea.

Es precisamente la idea de correspondencia entre elementos de conjuntos lo que permite saber cuándo un conjunto tiene más, menos o igual cantidad elementos que otro. Si se puede lograr una correspondencia biunívoca, es decir, si se puede asignar cada elemento de un conjunto a cada elemento del otro, los conjuntos tienen la misma cantidad de elementos (misma cardinalidad). Si no es así, uno tiene menos que otro: el que tiene menos es aquél cuyos elementos han quedado totalmente enlazados; y el que tiene más es, desde luego, aquél que posee elementos no enlazados o «de sobra».

Contemos ahora conjuntos infinitos

Hágase la pregunta: ¿se pueden contar todos los números naturales? Empecemos desde el 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6… y, así, se están contando al mismo tiempo que se están mencionando; de esta manera —y sin preocuparnos por el tiempo finito del que disponemos como seres vivos efímeros e insignificantes— podemos asegurar que se pueden contar todos aunque sean infinitos. Increíble, ¿no?

El conjunto de múltiplos positivos de 10 ({10, 20, 30, 40, 50…}) es un subconjunto de los naturales y es también infinito… ¿se podrá contar? Visualmente, tenemos que es posible etiquetar el 10 con el 1, el 20 con el 2, el 30 con el 3, el 40 con el 4… y así sucesivamente. De hecho, basta dividir cada elemento entre 10 y asignarle ese valor, así los estaríamos contando. En matemáticas, a este tipo de conjuntos se les llama conjuntos contables o conjuntos numerables.

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Un conjunto numerable puede ser finito o infinito. En el ejemplo de la imagen tenemos un conjunto cuya cardinalidad (cantidad de elementos) es igual a 6 pues, como lo demuestran las etiquetas, podemos asignar a cada elemento de la imagen un elemento del conjunto de números naturales del 1 al 6 ({1, 2, 3, 4, 5, 6}), que es un subconjunto de los naturales. Crédito: Aldo Parra.

Ahora que ya sabemos que un conjunto numerable es aquel cuya cardinalidad es igual a la cardinalidad de algún subconjunto de los números naturales, podemos reformular sabrosamente la pregunta del principio.

¿Es numerable el conjunto de números reales que hay desde el 0 hasta el 1?

Quizá se piense que sí porque son infinitos, debería existir manera de asignar cada infinita «piedrita» a cada infinito punto entre el espacio comprendido entre el 0 y el 1. Pero la verdad es que no es así. El mago del infinito, el matemático alemán Georg Cantor, nos dio una bonita demostración que hace uso de las ideas principales detrás del conjunto de los naturales y el conjunto de los reales.

Supongamos que es posible, entonces tendríamos todos los números del 0 al 1 etiquetados con un número natural. Ahora bien, damos un número real cuya primera cifra decimal sea diferente de la primera cifra decimal del número etiquetado con el 1, su segunda cifra sea diferente a la segunda cifra del número etiquetado con el 2… y así sucesivamente; obtendremos un número real mayor que cero, diferente a todos los infinitos números etiquetados. Entonces, la suposición es contradictoria: no se pueden etiquetar todos. La siguiente imagen ilustra la demostración.

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¡El infinito de los reales es más grande que el infinito de los naturales! Crédito: Aldo Parra.

¿Hay el doble de puntos del 0 al 2?

Pensar esto sería como pensar que el conjunto de números naturales pares tiene la mitad de elementos que el conjunto de números naturales. Es fácil demostrar que tienen la misma cardinalidad, basta tomar cualquier punto del 0 al 1 y multiplicarlo por 2 para enlazarlo con un punto del 0 al 2; se toma cualquier punto del 0 al 2 y se divide entre 2 para enlazarlo a un elemento del 0 al 1. Por tanto… ¡hay correspondencia biunívoca entre sus elementos! La siguiente imagen ilustra lo anterior.

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La cantidad de elementos entre el 0 y el 1 es la misma que entre el 0 y el 2; de hecho, es la misma cantidad que hay en toda la recta real, porque estamos hablando de un mismo tipo de infinito:  álef 1 (o aleph 1). Crédito: Aldo Parra.

Georg Cantor y los álefs

Las ideas expuestas en este artículo son sólo una probadita del gran trabajo desarrollado por Georg Cantor, quien demostró que el infinito o, mejor dicho, ¡los infinitos! son matemáticamente estudiables y trabajables.

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Georg Cantor (1845 – 1918) introdujo el término de conjuntos numerables, además llamó álef 0 (aleph 0) al infinito de los naturales y álef 1 (aleph 1) al infinito de los reales. Crédito: internet.

Obviamente uno no va por la vida pidiendo un álef 1 de manzanas o tortillas, pero la teoría de los infinitos (números transfinitos) es de suma utilidad en matemáticas avanzadas como teoría de medida; asimismo, permite hacer posible la idea de integrar funciones muy extrañas que pueden aparecer en la frontera del conocimiento.

Ahora ya lo sabes: si alguien te pregunta ¿cuántos puntos hay entre el 0 y el 1?, puedes responder con precisión que hay un infinito álef 1 de puntos.

Recomendaciones

Se aconseja ver los siguientes videos para reforzar lo expuesto en este artículo:

Bibliografía

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