Desde luego hay una infinidad, pero si se dispone de infinito tiempo ¿se podrán contar todos?, ¿habrá el doble de puntos entre el 0 y 2?. Parece ser que sí, pero para contestar estas preguntas se necesita dejar en claro algunos conceptos fundamentales:

¿Qué significa contar?

Cuando decimos que vamos a contar un conjunto de cosas hacemos referencia a que haremos una correspondencia ordenada entre cada cosa del conjunto y un número natural para saber hasta cual llegamos. Enunciado así no parece muy familiar, pero tiene la formalidad necesaria para que podamos extender el concepto a conjuntos infinitos.

Contar puede ser descrito como la primer forma de medición, ha hecho presencia desde el nacimiento de los primeros asentamientos humanos. Por ejemplo, nuestros ancestros utilizaban piedras para contar el ganado, imagínese, tiene 6 piedras en un caso, de la misma forma en que posee seis vacas, es decir, puede asignar a cada vaca una piedra. Las vacas salen a pastar y luego vuelven al establo, si usted trata de asignar cada una de las seis piedras a cada una de las vacas en el establo y resulta que sobró una piedra, ¡usted perdió una vaca!

Por esta razón la palabra Cálculo viene del latín “Calculus” que significa piedras.

Es precisamente la idea de correspondencia entre elementos de conjuntos lo que permite saber cuando un conjunto tiene más, menos o igual elementos que otro. Si se puede lograr una correspondencia biunívoca, es decir, si se puede asignar cada elemento de un conjunto a cada elemento del otro, los conjuntos tienen la misma cantidad de elementos (misma cardinalidad), si no es así, uno tiene menos que otro, el que tiene menos es aquel cuyos elementos han quedado totalmente enlazados, y el que tiene más es desde luego aquel que posee elementos no enlazados o “de sobra”.

Contando conjuntos infinitos

Hágase la pregunta: ¿Se pueden contar todos los números naturales?

Empezando desde el uno: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis . . . y así se están contando al mismo tiempo que se están mencionando, de esta manera y sin preocuparnos por el finito tiempo que disponemos como seres vivos efímeros e insignificantes, podemos asegurar que se pueden contar todos aunque sean infinitos. Increíble ¿no?

El conjunto de múltiplos positivos de 10 ({10, 20, 30, 40, 50 . . .}) es un subconjunto de los naturales y es también infinito ¿se podrá contar?. Visualmente vemos que podemos etiquetar el 10 con el 1, el 20 con el 2, el 30 con el 3, el 40 con el 4 y así sucesivamente, de hecho basta dividir cada elemento entre 10 y asignarle ese valor, así los estaríamos contando. En matemáticas a este tipo de conjuntos se les llama “conjuntos contables” o “conjuntos numerables”.

Ahora que ya sabemos que un conjunto numerable es aquel cuya cardinalidad es igual a la cardinalidad de algún subconjunto de los números naturales, podemos reformular sabrosamente la pregunta del principio:

¿Es numerable el conjunto de números reales que hay desde el 0 hasta el 1?

Quizá se piense que sí porque son infinitos, debería existir manera de asignar cada infinita “piedrita” a cada infinito punto entre el espacio comprendido entre el 0 y el 1, pero la verdad es que no es así, el mago del infinito, el matemático alemán Georg Cantor nos dio una bonita demostración que hace uso de las ideas principales detrás del conjunto de los naturales y el conjunto de los reales.

Suponemos que es posible, entonces tendríamos todos los números del 0 al 1 etiquetados con un número natural. Ahora bien, damos un número real cuya primer cifra decimal sea diferente de la primer cifra decimal del número etiquetado con el 1, su segunda cifra diferente a la segunda cifra del número etiquetado con el 2 y así infinitamente, obtendremos un número real diferente a todos los infinitos números etiquetados, entonces la suposición es falsa, no se pueden etiquetar todos. La siguiente imagen ilustra la demostración:

 

¿Hay el doble de puntos del 0 al 2?

Pensar esto sería como pensar que el conjunto de números naturales pares tiene la mitad de elementos que el conjunto de números naturales, es fácil demostrar que tienen la misma cardinalidad. Basta tomar cualquier punto del 0 al 1 y multiplicarlo por dos para obtener un punto del 0 al 2.

Las ideas expuestas en este articulo son solo una probadita del gran trabajo desarrollado por Georg Cantor, quien demostró que el infinito, o mejor dicho, ¡los infinitos! son matemáticamente estudiables y trabajables.

Obviamente uno no va por la vida pidiendo un aleph 0 de frutas o tortillas, pero la teoría de los infinitos es de suma utilidad en matemáticas avanzadas como teoría de medida. Permite integrar funciones extrañas, que pueden aparecer en la frontera de las ciencias teóricas o aplicadas.

Se recomienda ver los siguientes videos para reforzar lo expuesto en este artículo

• ¿Existen infinitos más grandes que otros?
• Cómo contar el infinito
• El infinito por fin explicado Fácilmente

Fuentes:

• Gracián, Enrique Los números Primos
• Cantor, Georg (11 de 2005). Fundamentos para una teoría general de conjuntos: escritos y correspondencia selecta. 
• Ivorra, Carlos Lógica y Teoría de Conjuntos