Bertrand Russell fue sin duda una de las mentes maravillosas del siglo XX, escribió sobre diversos temas de interés social, político y filosófico, su espléndido y original estilo literario le hizo ganar el Premio Nobel de Literatura en 1950. La Paradoja que lleva su nombre se presenta dentro de las matemáticas en teoría de conjuntos, es traducida a la jerga común como «La Paradoja del Barbero» pero vale la pena comprenderla en su lenguaje original.

Para evitar responsabilidad de conceptos inexactos, usemos el significado «natural»  de conjunto, aquel que ya hemos logrado abstraer a lo largo de la vida. Un conjunto es un conjunto de algo, valga la redundancia, pueden ser números, personas, figuras, en fin, cualquier cosa, y el conjunto en sí es una cosa, es algo. Hay conjuntos de infinitos elementos como el conjunto de los números naturales {1, 2, 3, 4 . . .} y los hay finitos como el conjunto de representantes principales del boom latinoamericano {Carlos Fuentes, García Márquez, Vargas Llosa, Julio Cortázar}.

Pero infinitos y finitos no es la única manera de clasificar los conjuntos, ni tampoco la más interesante, lo que nos adentra en la paradoja es la clasificación en: conjuntos normales y conjuntos singulares. Un conjunto singular (no tiene que ver con singular y plural) es aquel que se pertenece como elemento. Por ejemplo el conjunto {cosas que no saben tocar la guitarra}, en él están contenidos usted (si no sabe tocar la guitarra), el conjunto de todos los insectos, el conjunto de todas la bacterias, etcétera.

Adentrándonos en el conjunto {cosas que no saben tocar guitarra}  encontraremos elementos como cortauñas y sacacorchos, pero nos toparemos con un elemento poco esperado, ¡el conjunto mismo! así es, el conjunto de cosas que no saben tocar la guitarra no sabe tocar la guitarra así que cumple con la condición para ser parte del conjunto de cosas que no saben tocar la guitarra, siendo de esta manera un conjunto singular.

Por otro lado los conjuntos normales son aquellos que no cumplen esta interesante propiedad de pertenecerse, si un conjunto no es singular entonces es conjunto normal y si un conjunto es singular entonces no es conjunto normal. Antes de preguntarse si todas las infinitas cosas que no saben tocar guitarra juntas si podrán, debe estar consciente de que ya está en posición de apreciar la Paradoja de Russell.

Deténgase ante la siguiente pregunta: ¿Qué tipo de conjunto es el Conjunto de conjuntos normales?

Si es un conjunto normal entonces pertenece a sí mismo porque hablamos del conjunto  de conjuntos normales, pero si se pertenece sería conjunto singular y entonces no sería normal y no pertenecería a sí mismo… ¡Vaya Lío!

El enunciado formal se escribe:

Sea M el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos, es decir

M={x : x ∉ x}                  (1)

según la teoría de conjuntos de Cantor la ecuación (1) puede representarse como

∀x     x ∈ M ⇔ x ∉ x       (2)   (para cada x, x pertenece a M si y sólo si x no pertenece a x)

como M es un conjunto, entonces se puede substituir x por M en la ecuación (2) quedando

M ∈ M ⇔ M ∉ M   (M es elemento de M si y sólo si M no es elemento de M)  !

Apreciando esta contradicción usted habra de darse cuenta de que no es fácil definir lo que es un conjunto, ya que se puede llegar a peligrosas ideas que parecen no tener sentido, aunque en la actual teoría de conjuntos es una salvación que {x : x ∉ x} no sea considerado un conjunto, sino una «Clase»  (un concepto más general), sin embargo a Bertrand Russell se le considera uno de lo más grandes lógicos junto a Kurt Gödel, ya que esta paradoja hizo cimbrar un poco el trabajo desarrollado por George Cantor y Gottlob Frege, de los primeros dos se tratará proximamente en otra ocasión.

Fuentes:

Los Conjuntos, Manuel López Mateos (1978) México D.F. Publicaciones del Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM