Estamos acostumbrados a escuchar que la dimensión sea un número entero, como es el caso de un punto, que tiene dimensión cero, la recta uno y un plano dimensión dos, sin embargo, cuando se trata de un fractal es posible asignarle una dimensión no entera. Existen varias definiciones de dimensión para los fractales, la que resulta más didáctica es la llamada dimensión fractal de Hausdorff también llamada Hausdorff-Besicovitch y es la que se trata en este artículo.

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Comencemos con el clásico fractal llamado: Curva de Koch. Si no sabes qué es un fractal con ver este ejemplo lo entenderás de inmediato. Se inicia con un segmento de recta al que dividimos en tres partes iguales, la parte del medio la borramos y dibujamos sobre ella dos lados de un triangulo equilátero, tendremos entonces cuatro lineas rectas a las que le aplicamos el mismo procedimiento y obtendremos dieciséis segmentos nuevos, si seguimos iterando nos aproximaremos a la Curva de Koch, que en realidad es infinita.

Desde luego un fractal es una figura ideal, una abstracción matemática, sin embargo, también es el caso para muchos otros conceptos del día a día. Cuando dibujamos una linea recta sobre un papel en realidad dibujamos algo parecido a un rectángulo muy delgado y si vemos más de cerca notaremos que es una especie de cordillera de grafito o un marchito río de tinta para el caso de un trazo de pluma. De esta manera representamos objetos que solo existen en forma de ideas en nuestra mente, esto no nos detiene a interactuar con estas ideas a través del razonamiento.

Una generalización de dimensión

La palabra dimensión puede tener distintas definiciones en las diferentes áreas de las matemáticas, por ejemplo, al escuchar hablar sobre la dimensión topológica o la dimensión de un espacio vectorial. Por ahora podemos quedarnos con el concepto de dimensión espacial de uso común. Vivimos en un espacio de tres dimensiones pues es posible tener 3 pares de direcciones, arriba-abajo, derecha-izquierda y delante-atrás, los objetos tiene un largo, ancho y alto. Una figura plana tiene dos dimensiones, una linea representa una sola dimensión, étc.

Un cubo es una figura popularmente tridimensional, con esta figura podemos introducir la siguiente idea: dentro de un cubo cuyo lado mide dos unidades caben ocho cubos unitarios (de lado 1), si usted tiene problemas para imaginar esto piense en cajas cúbicas apiladas, cuatro para la parte de abajo y cuatro para la parte de arriba, ahora, en un cuadrado cuyo lado mide dos unidades caben cuatro cuadrados unitarios, y finalmente, en una linea que mida dos unidades caben dos lineas que midan una unidad. Para aclarar la descripción anterior basta la siguiente imagen

Si la linea mide 3 unidades podrá alojar 3 segmentos de una unidad, si el cuadrado mide 3 de lado podrá alojar 9 cuadrados unitarios y el cubo 27 cubitos unitarios, esto parece bastante obvio pues el primer caso es trivial y los últimos dos hablamos de área y volumen, en los que hay que elevar al cuadrado y al cubo respectivamente, sin embargo, vale la pena quedarnos con esta manera de verlo ya que ilustra la forma en la que los fractales pueden dar una dimensión no entera. (véase: potenciación)

Tomemos la curva de Koch y reduzcamos su tamaño a un factor de un tercio, como si hubiésemos comenzado a iterar desde un segmento de recta tres veces más pequeña:

No es difícil observar que la figura reducida un tercio cabe cuatro veces en el tamaño original:

Al reducir a un tercio las dimensiones de una linea, esta cabe evidentemente tres veces en la original, y cuando se trata de un cuadrado cabe nueve veces. Es decir, particularmente podemos ver la dimensión como el numero al que hay que elevar el factor de reducción del objeto para obtener la fracción que es del original. Para el caso de la linea, el cuadrado y el cubo este numero sera uno, dos y tres respectivamente, pero para el caso del fractal de Koch, tendremos una dimensión no entera de aproximadamente 1.26185, es decir, si elevamos un tercio (0.333…) a este número, obtendremos un cuarto (0.25). Es un aproximado ya que el número original es Log(4)/Log(3) y tiene cifras infinitas y no periódicas.

La función Logaritmo

Para obtener el valor al que hay que elevar algún número (llamado base) para obtener otro número dado se usa la función logaritmo, por ejemplo: logaritmo base dos de ocho es tres. En una calculadora la tecla Log nos aplica la función logaritmo en base 10, entonces si la aplicamos a 100 nos dará 2 como resultado, pues 10 elevado a 2 es 100. Haciendo uso de esta función es posible calcular fácilmente la dimensión de un fractal. Pasemos ahora a encontrar la dimensión Hausdorff del fractal llamado: La alfombra de Sierpinski

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Inicialmente se tiene un cuadrado en negro al que se le extrae un cuadrado del centro, ese cuadro en blanco deja a la imaginación otros ocho cuadrados en negro del mismo tamaño a los que también se les extrae un cuadradito del centro, así sucesivamente se genera la alfombra de Sierpinski. Nótese que si nosotros reducimos esta figura en un factor de un tercio, esta cabe ocho veces en la figura original, de ahí podemos concluir que la dimensión fractal de este fractal es Log(1/8)/Log(1/3) igual a Log(8)/Log(3), que es aproximadamente 1.89278.

Entonces para calcular la dimensión Hausdorff de un fractal se hace la siguiente división: Log(número de veces que cabe el fractal reducido en el original) sobre Log(inverso del factor de reducción). Cabe aclarar que no importa la base en la que uses la función logaritmo pues al ser un cociente es irrelevante, siempre y cuando ambos estén en la misma base (divisor y dividendo). Además, se puede poner directamente el factor de reducción solo que dará un número negativo pues Log(1/x) = -Log(x).

Finalmente hay que notar que la alfombra de Sierpinski tiene dimensión menor que dos, pues se parte de un cuadrado solido de dimensión dos que se va «agujereando» reduciendo su dimensión. Definir una dimensión fraccionaria nos ayuda a entender cómo los fractales aprovechan el espacio, siendo figuras con la propiedad de la auto-semejanza nos permite saber en qué cantidad una fracción de estas figuras se asemejan a la figura en totalidad. Puede probar lo aprendido calculando la dimensión del fractal conjunto de Cantor que parte de una línea, dará un número menor que uno, pues es una línea «perforada» y con un seis en el segundo dígito después del punto. Este método no es aplicable a todos los fractales, pero recordemos que esto solo es una introducción para explicar las distintas definiciones de dimensión para los fractales.