Fractales: un viaje a la intrínseca repetición de sí mismos

Las formas han sido objeto de estudio y centro de admiración del hombre desde la antigüedad, de hecho, los primeros teoremas enunciados por los antiguos griegos son referentes a éstas. El famoso teorema de Pitágoras, por ejemplo, nos asegura que la relación existente entre los lados de un triángulo rectángulo (figura 1) de lados a, b y c es:

 c2 = a2 + b2

tria1.png
Figura 1. Triángulo rectángulo de lados a, b, c.

Con el paso del tiempo, y mientras las figuras geométricas más «simples», tales como las secciones cónicas, se fueron comprendiendo en dos dimensiones (R2), la atención de los filósofos —y posteriormente de los matemáticos— se redirigió a formas geométricas más complejas y en dimensiones mayores (R3, R4, …, Rn). Surgieron así dos tipos de geometrías: la geometría euclidiana y la geometría no-euclidiana; de esta última destaca, por su importancia en actualidad, la geometría riemanniana. Se convino que una figura en un espacio euclidiano, cualquiera fuera su forma, si se encontraba en una dimensión mayor a 2, se llamara superficie. Pero en esta ocasión daremos un vistazo a otro tipo de figuras, con propiedades un tanto más peculiares.

En el plano real (representado por R2), usualmente conocido como plano coordenado o plano euclidiano, las figuras plasmadas son representadas por conjuntos de puntos con cierta característica. Por ejemplo, una parábola (figura 2) es el conjunto de puntos equidistantes a un punto (llamado foco) y una recta (llamada directriz); es decir, si miramos la figura 2, todos los puntos sobre la parábola distan igual del punto F y la recta en color rojo.

Para1.png
Figura 2. Parábola (verde) con foco en F.

La parábola más simple que puede construirse es matemáticamente representada así:Paraset.png

Esto se lee: P es el conjunto de puntos en el plano tales que   y = x2. En la representación matemática de este conjunto de puntos podemos observar la aparición de la función cuadrática f(x) = x2, en ese caso llamada y. De forma similar, podemos asociar figuras geométricas a conjuntos, por ejemplo, los conjuntos:

circunfs.png

Son, de hecho, el conjunto de puntos en el plano tales que su distancia desde el cero es r; dicho de otro modo, ambos casos son la circunferencia de radio r.

Hemos visto el significado matemático y geométrico del conjunto P, definido anteriormente, pero este es sólo uno de los conjuntos más comunes que, por ser la gráfica de la función cuadrática f(x) = x2, nos arroja demasiada información acerca del comportamiento de F. Con esta noción surgen las preguntas: ¿existe una representación geométrica para cada conjunto de puntos?, ¿qué clase de información nos proporciona sobre la función que lo parametriza, si es que la hay?

En matemáticas se denomina objeto (matemático) a todo lo empleado en su construcción o a aquél ente que abstraiga alguna idea, por ejemplo: conjuntos, números, funciones, etcétera. Los objetos cuya importancia resalta sobre la del resto, o bien su aparición es frecuente en diversas áreas, reciben nombres característicos, ejemplo de ello son los siguientes objetos matemáticos: si se trata de números, π, e, i…; si se trata de funciones, sen, cos, exp, log…; si se trata de conjuntos, Ø (vacío), P(X), R; si se trata de figuras geométricas o superficies, el círculo, triángulo, el toro, la esfera…; y así sucesivamente.

El zoológico de estos últimos objetos mencionados no se limita a las figuras que aprendimos en primaria, hay tantas que incluso dudarías sobre la existencia de algunas. Tal es el caso de los fractales. Tal como el concepto del infinito, para algunos el concepto del fractal es difícil de digerir en un primer acercamiento, ya que fractal suele definirse como un objeto geométrico, aparentemente irregular, que repite su estructura básica a diferentes escalas. Esto quiere decir que una pequeña sección de éste puede verse como una réplica a menor escala del objeto completo.

El término fractal fue introducido por primera vez por el matemático francés de origen polaco Benoît B. Mandelbrot (figura 3) en 1975, lo que lo convierte en un término relativamente nuevo en matemáticas, y con esto funda también una nueva rama de las matemáticas: la geometría fractal. A continuación te dejamos una entrevista realizada a este gran personaje, donde responde a preguntas sobre cómo dio el nombre a estas figuras y los motivos de su estudio.

Benoit.png
Figura 3. Benoît B. Mandelbrot.

Para ejemplificar el concepto, la siguiente imagen muestra el conjunto de Mandelbrot, el fractal por excelencia:

 

Las representaciones gráficas (ojo, no hay que confundir esta expresión con la usada anteriormente, cuando se hablaba de la gráfica de una función), a pesar de dar alguna información sobre los objetos matemáticos que representan, en el caso de los conjuntos no suelen aportar demasiada información, o al menos no como lo haría la representación simbólica de este objeto.

Tal es el caso del conjunto de Mandelbrot. Para alguien recién llegado a la teoría de fractales, ver este conjunto por sí mismo no dice nada de su origen u otras propiedades que los conjuntos poseen, sólo podemos ver a simple vista que se trata de un fractal. De ahí la importancia de la simbología. El conjunto de Mandelbrot, M, está descrito por:

M.png

Donde f(z) =  z+ c.

Ésta no es la definición original del conjunto de Mandelbrot, sino una equivalencia. Aún así, para nuestros fines, la llamaremos definición. La definición original está en términos del conjunto de Julia y puede encontrarse en cualquiera de las referencias (ver lista al final del artículo), o bien, en Google. Esta definición del conjunto engloba muchísimos conceptos matemáticos de gran relevancia en el análisis matemático, pues involucra desde números complejos, C, hasta sucesiones, precisamente, de estos.

Para poder explicar el significado del conjunto M debemos comenzar por recordar qué es un número complejo. La unidad imaginaria, i = √-1, es el objeto matemático que diferencia a un número complejo de un número real. Un número complejo, z, se escribe  de la siguiente forma: z = x + iy, en donde x y y son números reales. Una propiedad sumamente importante de los números complejos es la identificación que tienen con el plano (R2); así que un número complejo puede escribirse como un punto en el plano, es decir, z = (x, y). Por tal motivo decimos que z está en el plano complejo. Esto nos indica que el conjunto de Mandelbrot, en el pano complejo, luce como en la figura 4. Al conjunto de todos los número complejos, así como al plano complejo, lo llamamos C.

mandelej
Figura 4. Conjunto de Mandelbrot sobre el plano complejo.

Ahora hablemos un poco sobre funciones. Una función f se identifica por dos características principales: su dominio y su regla de correspondencia. El dominio de la función (en este caso el dominio de f) es el conjunto de valores en los cuales será evaluada la función. La regla de correspondencia de la función es la «receta» a seguir para obtener el valor de la función en cierto punto. Es importante saber también que el contradominio de la función es el conjunto de valores en donde se encuentran los valores devueltos por la función tras ser evaluados. Por ejemplo, la parábola de figura 2 es la gráfica de la función:

f.png

El dominio de ésta es el intervalo [-5, 7], con contradominio a todos los números reales (R) y cuya regla de correspondencia es la parte derecha de la igualdad. A la letra x se le denomina variable. La primera generalización natural en funciones es que, en lugar de sólo ser uni-variada (es decir, sólo tiene una variable), éstas pueden ser multi-variadas (con más de una variable). Un ejemplo de una función multi-variada sería la siguiente: f(x, y) = x + y. Para poder formar el conjunto de Maldenbrot necesitamos una función, ya sea uni-variada, de los complejos a los complejos, o bien una multi-variada, de los reales a los complejos.

Es importante resaltar que, si tras evaluar una función en un elemento x1 del dominio, el valor de ésta permanece en él, es decir, f(x1) pertenece al conjunto de posibles valores que puede tomar la variable x, es posible poder evaluar de nuevo, esto es, hacer la composición de f con f, en este caso f( f(x1) ). Gracias a esta propiedad, si el dominio de una función es el mismo que su contradominio, digamos R, si f es continua, la llamamos
sistema dinámico. Finalmente, una sucesión es un conjunto cuyos elementos están secuenciados, es decir, tiene un orden, se suceden uno detrás de otro. Un ejemplo de una sucesión son los propios números naturales, ya que se acomodan como sigue: 1, 2, 3, 4, 5… En nuestro caso, las sucesión ( fn(0) ) es la siguiente secuencia: f(0), f2(0), f3(0)... Que la sucesión ( fn(0) ) sea acotada significa que ninguna iteración de fn es infinita cuando se evalúa, en este caso, en cero.

A diferencia de muchas otras otras ramas de las matemáticas, podemos encontrar a la geometría fractal rodeándonos en el mundo en el que vivimos, ya que, como el mismo Mandelbrot aseveró, es «La geometría de la naturaleza». Estas estructuras, casi improbables, se encuentran en el mundo biológico e inanimado y han desconcertado a biólogos, geólogos y físicos durante décadas. Aquí algunas imágenes que muestran algunas de dichas estructuras:

 

 

En el siguiente enlace se pueden encontrar más de estas infinitas repeticiones en la naturaleza: https://io9.gizmodo.com/incredible-photographs-of-fractals-found-in-the-natural-480626285.

La construcción del conjunto de Mandelbrot es un ejemplo de la construcción sistemática de las matemáticas, cuya naturaleza lógica le permite crecer sobre sí misma, reciclando ideas y, de vez en cuando, reinventándose.

De las leyes más simples nacen maravillas que se repiten indefinidamente.

 

Benoît B. Mandelbrot

Glosario

  • P(X) (conjunto potencia de X). Es el conjunto de todos los subconjuntos de X, por ejemplo, si X = {a, b, c}, entonces P(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,d}, {b,c}, {a,b,c}}.
  • Unidad imaginaria. Recibe este nombre por la inexistencia de las raíces cuadradas de números negativos.
  • Plano complejo. Al igual que el plano, éste tiene dos ejes: el eje real (Re) y el eje imaginario (Im), que son análogos a los ejes X y Y respectivamente.
  • Composición de funciones. Esto significa hacer evaluar una función en el valor de otra. En general, la composición de dos funciones se denota por: f ο g y se lee g compuesta con f. Además, podemos escribir f o f = f2, fo f = f3, etcétera.
  • Sistema dinámico. El estudio de los sistemas dinámicos consiste en predecir la evolución de algún fenómeno de interés a través del tiempo. Los hay continuos y discretos. Es comprensible que sea toda una teoría la que se desarrolla en este estudio.

 

Referencias

  • P. Gutierrez, E. Hott. Introducción al mundo fractal: Matemática. S. l., 2004.
  • P. Valdés. Introducción a la geometría fractal. Universidad del Bío-Bío, 2016.
  • J. E. King, H. Méndez. Sistemas dinámicos discretos. Facultad de Ciencias-UNAM, 2014.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s